Об условии представления инвариантного относительно дифференцирования подпространства в пространстве Шварца в виде прямой суммы его резидуальной и экспоненциальной составляющих

Аннотация

В работе рассматривается пространство Шварца $\mathcal E$ бесконечно дифференцируемых функций на вещественной прямой и его замкнутые подпространства, инвариантные относительно оператора дифференцирования. Известно, что каждое такое подпространство имеет, возможно тривиальные, экспоненциальную и резидуальную составляющие, которые определяются кратной последовательностью точек комплексной плоскости $(-\mathrm{i}\Lambda)$ (спектром $W$) и относительно замкнутым в $\mathbb R$ промежутком $I_W$ (резидуальным интервалом подпространства $W$) соответственно. Из недавних исследований известно, что при определенных ограничениях на взаимное поведение $\Lambda$ и $I_W$, соответствующее инвариантное подпространство $W$ восстанавливается по этим характеристикам однозначно (допускает спектральный синтез в слабом смысле). В случае, когда спектр $(-\mathrm{i}\Lambda)$ — конечная последовательность, экспоненциальная составляющая подпространства $W$ конечномерна, и само подпространство $W$ есть алгебраическая сумма резидуального подпространства и конечномерной линейной оболочки множества экспоненциальных одночленов, содержащихся в $W$. В случае бесконечного дискретного спектра нами были получены условия, при которых алгебраическая сумма резидуального и экспоненциального подпространств в $W$ является замкнутой, а значит и прямой топологической суммой, совпадающей с самим $W$. Эти условия общие, но не слишком удобные для непосредственной проверки. Здесь мы выводим из них наглядные, легко проверяемые условия на бесконечную последовательность $\Lambda,$ при которых инвариантное подпространство $W$ со спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным интервалом $I_W$ является прямой алгебраической и топологической суммой своих экспоненциальной и резидуальной составляющих, то есть каждый элемент из $W$ единственным образом представляется в виде суммы двух функций, одна из которых есть предел последовательности экспоненциальных одночленов в $\mathcal E,$ а другая тождественно равна нулю на $I_W.$