Представление аналитических функций рядами экспонент в полуплоскости с учетом мажоранты роста

Аннотация

В статье речь идет о представлении аналитических в полуплоскости $\Pi_0 = \{ z = x+ iy \colon x > 0 \}$ функций рядами экспонент с учетом заданного роста.
В теории рядов экспонент одним из основных является следующий наиболее общий результат А.Ф. Леонтьева: для любой ограниченной выпуклой области $D$ найдется последовательность $\{ \lambda_n \}$ комплексных чисел, зависящая только от данной области, такая, что любую функцию $F$, аналитическую в $D$, можно разложить в ряд экспонент $F(z) = \sum_{n=1}^\infty a_n e^{\lambda_n z}$ (сходимость — равномерная на компактах из $D$). Позже подобный результат о разложении в ряды экспонент, но с учетом роста, также был получен А.Ф. Леонтьевым для пространства аналитических функций конечного порядка в выпуклом многоугольнике. Им при этом было показано, что ряд из модулей $\sum_{n=1}^\infty \left| a_n e^{\lambda_n z} \right|$ имеет ту же оценку сверху, что и исходная функция $F$. Этот факт в 1982 году был перенесен А.М. Гайсиным на полуплоскость $\Pi_0^+$. В настоящей статье исследуется аналогичный случай, когда в качестве функции сравнения берется некоторая убывающая выпуклая мажоранта, не ограниченная около нуля. Для этого привлекаются методы оценок, основанные на преобразованиях Лежандра. Доказано утверждение, а именно теорема 2.2, которое обобщает соответствующий результат А.М. Гайсина о разложении аналитических в полуплоскости функций с учетом порядка роста в ряды экспонент.