Усреднение случайных ортогональных преобразований аргумента функций

Аннотация

Рассматриваются и изучаются понятия случайного оператора, случайной операторнозначной функции и случайной полугруппы, заданных на гильбертовом пространстве, а также их усреднения. Получены условия, при которых усреднение случайной сильно непрерывной операторнозначной функции само является сильно непрерывным. В частности, показано, что у всякой случайной сильно непрерывной сжимающей операторнозначной функции есть сильно непрерывное сжимающее усреднение. Рассматриваются две конкретные случайные полугруппы: матричная полугруппа случайных ортогональных преобразований евклидова пространства и полугруппа операторов, заданных на гильбертовом пространстве функций, квадратично интегрируемых на сфере евклидова пространства, и осуществляющих случайные ортогональные преобразования пространства аргументов этих функций. Вторую из этих полугрупп будем называть полугруппой случайных поворотов; ее можно интерпретировать как случайное блуждание на сфере. Показано существование усреднений у обоих случайных полугрупп. Изучается операторнозначная функция, получающаяся в результате замены временного параметра $t$ на $\sqrt t$ в усреднении полугруппы случайных поворотов. С помощью теоремы Чернова доказана при некоторых условиях сходимость последовательности итераций Фейнмана – Чернова этой функции к сильно непрерывной полугруппе, описывающей диффузию на сфере евклидова пространства. Для этого предварительно находится и изучается производная этой операторнозначной функции в нуле, являющаяся одновременно генератором предельной полугруппы. Получена простая дивергентная форма этого генератора. С помощью этой формы получены условия, при которых генератор является эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка; при этих условиях доказана его существенная самосопряженность.