Скорость сходимости одного класса дифференцирующих сумм

Аннотация

Рассматривается формула дифференцирования аналитических в круге $|z|<1$ функций: $azf'(z)=nf(0)-\sum_{k=1}^n f(\lambda_k z)+R_n(z)$. Здесь $a\ne 0$ — вещественная постоянная, $n=1,2,\dots$, а комплексные параметры $\lambda_k=\lambda_{n,k}(a)$, $k=1,\dots,n$, определяются как (единственное) решение дискретной системы моментов для ньютоновых степенных сумм $\lambda_1^m+\dots+\lambda_n^m=-ma$, $m=1,\dots,n$. При таком выборе параметров, функция $R_n(z)=R_n(a,f;z)$ (остаточный член формулы) имеет порядок малости $O(z^{n+1})$ при $z\to 0$. В работе доказано, что при каждом фиксированном $a>0$ и любом $n\geqslant 3\alpha$ ($\alpha:=\max\{a;1\}$) область применимости формулы содержит круг $|z|<\exp(-3\sqrt{v}-2v)$, $v:=\alpha/(n+1)$, радиус которого стремится к единице при $n\to \infty$. Установлена экспоненциальная скорость сходимости дифференцирующих сумм к $nf(0)-a zf'(z)$ в том же круге. Этот результат дополняет и заметно расширяет предшествующие результаты работ В.И. Данченко (2008) и П.В. Чунаева (2020), в которых, соответственно, для случаев $a=-1$ и $-n\le a<0$ была установлена сходимость формулы дифференцирования, но лишь в областях, содержащихся в фиксированных компактных подмножествах единичного круга. Доказательство основных результатов статьи опирается на существенно отличающийся от метода работ Данченко и Чунаева подход к построению решения указанной системы моментов.