Об интегральных представлениях величин, связанных с гамма-функцией

Аннотация

Изучается круг вопросов, связанных с интегральными представлениями гамма-функции и ее отношений. Основу нашего исследования составляют два классических результата теории функций. Один из них — широко известная первая формула Бине, другой — менее известное представление Мальмстена. Эти специальные формулы выражают значения гамма-функции в открытой правой полуплоскости через соответствующие несобственные интегралы. В работе показано, что оба результата допускают распространение на мнимую ось с исключенной точкой $z=0$. В процессе такого распространения применяются различные методы вещественного и комплексного анализа. Отсюда, в частности, получены интегральные представления для аргумента комплексной величины, являющейся значением гамма-функции в чисто мнимой точке. На основе упомянутой формулы Мальмстена в точках $z\neq0$ из замкнутой правой полуплоскости дан подробный вывод интегрального представления для заданного через гамма-функцию специального отношения $D(z)\equiv\Gamma(z+1/2)/\Gamma(z+1)$. Такой факт на положительной полуоси отмечен без доказательства в небольшой заметке Душана Славича 1975 года. В той же работе приведены при $x>0$ двусторонние оценки величины $D(x)$, которая в натуральных точках совпадает с нормированным центральным биномиальным коэффициентом. Эти оценки означают, что $D(x)$ обвертывается на положительной полуоси своим асимптотическим рядом. В настоящей статье кратко обсуждается вопрос о наличии данного свойства у асимптотического ряда функции $D(z)$ в замкнутом угле $|\arg z|\leqslant\pi/4$ с исключенной вершиной. Из новой формулы, представляющей $D(z)$ на мнимой оси, получены явные выражения для величины $|D(iy)|^2$ и для множества $\mathrm{Arg}\, D(iy)$ при $y>0$. Указан метод доказательства второй формулы Бине, использующий аппарат простых дробей.