Обоснование методов Галеркина и коллокаций для одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на отрезке

Аннотация

Для одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, определенных в паре пространств Соболева с весами, обоснованы методы Галеркина и коллокаций. При этом точное решение исходного уравнения аппроксимируется линейными комбинациями полиномов Чебышева первого рода. По методу Галеркина приравниваются коэффициенты Фурье левой и правой частей уравнения по системе полиномов Чебышева второго рода, а по методу коллокаций приравниваются значения левой и правой частей уравнения в узлах являющихся корнями полиномов Чебышева второго рода. Выбор полиномов Чебышева первого рода в качестве координатных функций для аппроксимации точного решения обусловлен возможностью вычислять в простом явном виде сингулярные интегралы с ядром Коши от произведений этих полиномов и соответствующих весовых функций. Это позволяет строить простые хорошо сходящиеся методы для широкого класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на интервале $(-1,1)$. Метод Галеркина обоснован с использованием методики Габдулхаева – Канторовича. Обоснование метода коллокаций получено как следствие сходимости метода Галеркина по методике Арнольда – Вендланда. Таким образом, доказана сходимость обоих методов, получены эффективные оценки погрешностей.