Сопряженные пространства к весовым пространствам локально интегрируемых функций

Аннотация

В статье рассматриваются интегрально весовые $L_2$ пространства на выпуклых областях $\mathbb R^n$ и исследуется задача описания сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье – Лапласа. Пусть $D$ — ограниченная выпуклая область в $\mathbb R^n$ и $\varphi $ — выпуклая функция на этой области. Через $L_2(D,\varphi )$ обозначим пространство локально интегрируемых функций на $D$, для которых конечна норма \begin{equation*} \|f\|^2:= \int \limits _D|f(t)|^2e^{-2\varphi (t)}dt. \end{equation*} При некоторых ограничениях на весовую функцию $\varphi $ доказано, что целая функция $F$ представляется в виде преобразования Фурье – Лапласа функции из $L_2(D,\varphi )$, то есть \begin{equation*} F(\lambda )=\int \limits _De^{t\lambda -2\varphi (t)}\overline {f(t)}dt, f\in L_2(D,\varphi ), \end{equation*} для некоторой функции $f\in L_2(D,\varphi )$ тогда и только тогда, когда $$ \|F\|^2:=\int \frac {|F(z)|^2}{K(z)}\det G(\widetilde \varphi ,x)dydx<\infty , $$ где $ G(\widetilde \varphi ,x)$ — матрица Гессе функции $\widetilde \varphi $, \begin{equation*} K(\lambda ):=\|\delta _\lambda \|^2, \lambda \in \mathbb C^n. \end{equation*} В качестве примера показано, что для случая, когда $D$ — единичный круг и $\varphi (t)= (1-|t|)^\alpha $, то пространство преобразований Фурье – Лапласа изоморфно пространству целых функций $F(z)$, $z=x+iy\in \mathbb C^2 $, для которых \begin{equation*} \|F\|^2:=\int |F(x+iy)|^2e^{-2|x| -2(a\beta )^{\frac 1{\beta +1}}(a+1)|x|^{\frac \beta {\beta +1}}}(1+|x|)^{\frac {\alpha -3}2}dxdy<\infty , \end{equation*} где $\alpha =\frac \beta {\beta +1}$ .