Неравенства типа Харди, содержащие градиент функции расстояния

Аннотация

В областях евклидова пространства доказаны несколько новых неравенств типа Харди, содержащих градиент функции расстояния от точки до границы области. Для пробных функций рассматриваются усиленные неравенства в форме, предложенной Балинским и Эвансом для случая выпуклых областей. А именно, в неравенствах типа Харди вместо градиента пробной функции берется скалярное произведение градиентов пробной функции и функции расстояния от точки до границы заданной области. В этой статье интегральные неравенства типа Харди изучаются в невыпуклых $n$-мерных областях, имеющих конечный внутренний радиус. Нами доказаны три новых $L_p$-неравенства типа Харди в усиленной форме с явными оценками констант в зависимости от размерности евклидова пространства $n\geq 2$, внутреннего радиуса области и двух параметров $p\geq 1$, $s \geq n$. Доказательства имеют три важных ингредиента. Первый из них связан с аппроксимацией и специальным разбиением области, в частности, мы пользуемся аппроксимацией области подмножествами, составленными из конечного числа кубиков, грани которых параллельны координатным плоскостям. Второй ингредиент состоит в представлении области в виде счетного объединения подобластей с кусочно-гладкими границами и применении одной новой теоремы автора о сходимости градиентов функций расстояния этих подобластей. Кроме того, доказаны три новых неравенства типа Харди на конечном интервале, они используются при обосновании неравенств в многомерных областях.