Ряды экспонент в нормированных пространствах аналитических функций

Аннотация

Хорошо известна классическая теорема А.Ф. Леонтьева о представлении функций аналитических в выпуклой области $D$ и непрерывных вплоть до границы рядами вида $\sum _{k=1}^\infty f_ke^{\lambda _kz}$, сходящимися в топологии пространства $H(D)$, т.е. равномерно на компактных подмножествах из $D$. В работе доказана возможность представления функций из \begin{equation*} A_0(D)=\left \{f\in H(D)\bigcap C(\overline D):\ \|f \|:=\sup _{z\in \overline D}|f(z)|\right \} \end{equation*} рядами экспонент, сходящимися в более сильной топологии: существует такое целое число $s>0$, что: 1) для любой ограниченной выпуклой области $D$ найдется система экспонент $e^{\lambda _kz},$ ${k\in \mathbb N}$ такая, что каждая функция $f\in H(D)\bigcap C^{(s)}(\overline D)$ представляется в виде ряда по этой системе, сходящегося в норме пространства $A_0(D)$; 2) для любой ограниченной выпуклой области $D$ найдется система экспонент $e^{\lambda _kz},$ ${ k\in \mathbb N}$ такая, что каждая функция $f\in A_0( D)$ представляется в виде ряда по этой системе, сходящегося в норме \begin{equation*} \|f\| = \sup _{z\in D}|f(z)|(d(z))^s, \end{equation*} где $d(z)$ — расстояние от точки $z$ до границы области $D$. Число $s$ связано с существованием целых функций с максимально точной асимптотической оценкой. В частных случаях, когда $D$ — многоугольник или область с гладкой границей и кривизной границы, отделенной от нуля, можно считать $s=4$.