О пространстве голоморфных функций с граничной гладкостью и его сопряженном

Аннотация

Рассматривается пространство Фреше – Шварца $A_{{\mathcal H}}(\Omega)$ функций, голоморфных в ограниченной выпуклой области $\Omega$ многомерного комплексного пространства и гладких вплоть до границы, с топологией, определяемой счетным семейством норм, построенных с помощью определенного семейства ${\mathcal H}$ раздельно радиальных весовых функций в ${\mathbb R}^n$. Изучается задача описания сильного сопряженного для этого пространства в терминах преобразования Лапласа функционалов. Интерес к ней связан с исследованиями Б.А. Державца классических проблем теории линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, А.В. Абанина, С.В. Петрова и К.П. Исаева современных проблем теории абсолютно представляющих систем в различных пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях комплексного пространства, с заданной граничной гладкостью, при решении которых важную роль сыграли полученные ими теоремы типа Пейли – Винера – Шварца. Основная в работе теорема 1.1 утверждает, что преобразование Лапласа линейных непрерывных функционалов устанавливает изоморфизм между сильным сопряженным к рассматриваемому функциональному пространству и некоторым пространством целых функций экспоненциального типа в ${\mathbb C}^n $, представляющим собой внутренний индуктивный предел весовых банаховых пространств целых функций, и обобщает соответствующий результат второго автора 2020 года. Основу доказательства теоремы составляют схема, предложенная М. Неймарком и Б.А. Тейлором. На основе теоремы 1.1 и теоремы 7.6.11 из монографии Л. Хёрмандера (L. Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables // North Holland; 3rd edition, 1990) исследована задача о разрешимости систем дифференциальных уравнений с частными производными в $A_{{\mathcal H}}^m (\Omega)$. Получен аналог теоремы 7.6.13 из монографии Л. Хёрмандера. При этом, как и при установлении теоремы 1.1, по существу использовались свойства преобразования Юнга – Фенхеля функций семейства ${\mathcal H}$.