Об интегрируемости полудискретного уравнения Цицейки

Аннотация

В работе рассматривается полудискретная версия уравнения Цицейки $$\dfrac{u_{n+1}}{x}=\dfrac{u_{n}}{x}+(e^{-2u_n}+e^{-2u_{n+1}}) +\sqrt{e^{2u_n}+e^{2u_{n+1}}},$$ найденная в недавней статье [R.N. Garifullin and I.T. Habibullin 2021 J. Phys. A: Math. Theor. 54 205201]. Было показано, что это уравнение имеет высшие симметрии по дискретному и непрерывному направлению. Эти высшие симметрии являются уравнениями типа Савады-Котеры и дискретной Савады-Котеры. В этой работе мы строим пару Лакса для этого уравнения и его высших симметрий. Найденная пара Лакса выписывается в терминах матриц порядка $3\times 3$ и свидетельствует об интегрируемости найденных уравнений. Для решения этой задачи используется известная связь одной из высших симметрий с хорошо исследованным уравнением Каупа–Купершмидта. Найденные пары Лакса помогут в дальнейших исследованиях этого уравнения – нахождение его законов сохранения, операторов рекурсии и широких классов решений. Кроме того выписаны два представления Лакса в виде скалярных операторов. Первое скалярное представление выписывается по степеням оператора дифференцирования по непрерывной переменной $x$, второе – по степеням оператора сдвига по дискретной переменной $n$.