Общие решения некоторых линейных уравнений с переменными коэффициентами

Аннотация

В работе найдены общие решения для некоторых классов линейных волновых уравнений с переменными коэффициентами. Такие уравнения описывают колебания стержней, акустические волны, а также к ним сводятся некоторые модели газовой динамики. Для построения общих решений используются специальные типы преобразований Эйлера-Дарбу – преобразования типа Леви. Эти преобразования представляют собой дифференциальные подстановки первого порядка. Для построения каждого преобразования необходимо решать два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Решения одного из этих уравнений находятся из решений другого с помощью дифференциальной подстановки и формулы Лиувилля. В общем случае решать эти обыкновенные дифференциальные уравнения не просто. Однако можно указать некоторую формулу суперпозиции преобразований типа Леви. Стартуя с классического волнового уравнения с постоянными коэффициентами и используя найденные преобразования, можно строить бесконечные серии уравнений, обладающих явными общими решениями. С помощью метода Матвеева получены предельные формы итерированных преобразований. Приводится ряд конкретных примеров уравнений обладающих общими решениями.