Характеристические алгебры и интегрируемые системы экспоненциального типа

Аннотация

В данной работе изучаются характеристические алгебры для систем экспоненциального типа, соответствующих вырожденным матрицам Картана. Эти системы обобщают хорошо известные в теории интегрируемых систем гиперболические уравнения синус-Гордон и Цицейки. Для таких систем, соответствующих матрицам Картана ранга $2$, характеристические алгебры описаны явно в терминах образующих и соотношений, и доказано, что они имеют линейный рост. Исследуется связь между высшими симметриями этих систем и структурой их характеристических алгебр. Полностью описаны высшие симметрии экспоненциальной системы, отвечающей матрице Картана аффинной алгебры Ли $A^{(1)}_2$. Получены также частичные результаты о симметриях систем, соответствующих другим вырожденным матрицам Картана ранга $2$. Высказана гипотеза о структуре высших симметрий произвольной экспоненциальной системы, соответствующей вырожденной матрице Картана. Изучена интересная комбинаторика, связанная с оператором, порождающим характеристическую алгебру в самом простом случае — для интегрируемого по Дарбу уравнения Лиувилля. Найденные комбинаторные свойства могут оказаться весьма полезными для доказательства высказанной гипотезы о структуре высших симметрий. Кроме того, в данной статье давно используемому в литературе понятию характеристической алгебры гиперболической системы придается математически строгий смысл на основе понятия алгебры Ли–Райнхарта и на примерах продемонстрировано, что такая формализация действительно необходима.