Дискретная задача Римана и интерполяция целых функций

Аннотация

Рассмотрены две задачи комплексного анализа, разрабатывавшиеся в Уфе в 1970-х годах. Это задача Римана о скачке кусочно-аналитической функции на контуре и задача интерполяции целой функции на счетном множестве точек в комплексной плоскости. Прослежено развитие этих задач в последующие годы и показано, что они имеют много общего. Первая из них служит эквивалентом обратной задачи рассеяния, применяемой для интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений математической физики. Вторая задача является естественным обобщением формулы Лагранжа для нахождения полинома, принимающего заданные значения на конечном множестве точек. Показано, что обе задачи могут быть объединены обобщением задачи Римана на случай «дискретного контура», на котором происходит «скачок» аналитической функции. В такой формулировке рассмотрена дискретная матричная задача Римана, применяемая ныне во многих задачах для точно решаемых разностных уравнений и оценки спектра случайных матриц. В статье показано, как дискретная матричная задача Римана доставляет способ интегрирования нелинейных разностных уравнений математической физики, таких как разностные уравнения Пенлеве. С другой стороны продемонстрировано, как задание вычетов мероморфной матрицы-функции на счетном множестве в $\mathbb{C}$ с точкой накопления в бесконечности по сути сводится к задаче интерполяции целых функций. Указано другое приложение решений этой задачи, связанное с вычислением детерминантов Фредгольма, применяемых в комбинаторике и теории представления групп.