О взаимосвязи вариационных симметрий с алгебраическими структурами

Аннотация

В работе изложен достаточно общий подход к выявлению взаимосвязи между симметриями $B_u$-потенциалов (вариационными симметриями) и алгебраическими структурами (Ли-допустимыми алгебрами и алгебрами Ли). Для этого в пространстве генераторов симметрий функционалов определены такие билинейные операции, как $(\mathscr{S},\mathscr{T})$-произведение, $\mathscr{G}$-коммутатор, коммутатор. В первой части работы с целью полноты изложения приведены необходимые сведения о $B_u$-потенциальных операторах, инвариантных функционалах и вариационных симметриях. Во второй части получены условия, при которых $(\mathscr{S},\mathscr{T})$-произведение, $\mathscr{G}$-коммутатор, коммутатор генераторов симметрий $B_u$-потенциалов также являются их генераторами симметрий. Доказано, что при выполнении некоторых условий $(\mathscr{S},\mathscr{T})$-произведение превращает линейное пространство генераторов симметрий $B_u$-потенциалов в Ли-допустимую алгебру, а $\mathscr{G}$-коммутатор, коммутатор – в алгебру Ли. Как следствие, аналогичные результаты получены для генераторов симметрий потенциалов ($B_u\equiv I$ – тождественный оператор). Кроме того, установлена связь симметрий функционалов с алгебрами Ли в случае бипотенциальности их градиентов. Теоретические результаты проиллюстрированы примерами.