Связь длины и неустойчивости трубчатых экстремальных поверхностей

Аннотация

В статье исследуются поверхности, которые являются экстремалями функционала потенциальной энергии. В нашем случае потенциальная энергия есть сумма двух функционалов, один функционал типа площади, а другой функционал объемной плотности сил. Экстремальные поверхности устойчивы, если вторая вариация функционала знако определена, иначе — неустойчивы. Для получения неустойчивости накладываем дополнительные условия на поверхность и подынтегральные функции, применяем свойства положительно определенных симметричных матриц, используем формулу Кронрода–Федерера, неравенство Коши–Буняковского, оценку гомоморфизма Вейнгартена и оцениваем вторую вариацию функционала. Данная техника доказательства представляет собой развитие приемов, разработанных В.А. Клячиным. Она позволяет получить условия неустойчивости поверхности. Установлено, что длину трубчатой экстремальной поверхности можно оценить с помощью минимальной и максимальной $(n-1)$-мерной меры сечения поверхности плоскостями. Поэтому полученное утверждение означает, что слишком длинные трубки с ненулевой средней кривизной неустойчивы. Физические аспекты данного явления рассмотрены в работе В.А. Саранина.