Решение спектральных задач для операторов ротора и Стокса

Аннотация

В работе явно решаются спектральные задачи для операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса в шаре $B$ радиуса $R$. Собственные вектор-функции $\mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}$ ротора, отвечающие ненулевым собственным значениям $\pm\lambda_{\kappa}$, выражаются явными формулами, также как и вектор-функции $\mathbf{q}_{\kappa}$, соответствующие нулевому собственному значению: \[rot \mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}=\pm\lambda_{\kappa}  \mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}, \quad \psi_n(\pm\lambda_{\kappa} R)=0, \quad \mathbf{n}\cdot\mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}|_S=0;\quad rot \mathbf{q}_{\kappa}=0, \quad \mathbf{n}\cdot\mathbf{q}_{\kappa}|_S=0,\] где\[\psi_n(z)=(-z)^n(\frac{d}{zdz})^n\frac{\sin z}z, \quad \kappa=(n,m,k), n\geq 0,   m\in \mathbb{N},   |k|\leq n\] Эти же вектор-функции являются собственными для оператора градиент дивергенции с другими собственными значениями: \[\nabla div \mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}=0; \quad \nabla div \mathbf{q}_{\kappa}=\mu_{\kappa}\mathbf{q}_{\kappa}, \quad \mu_{\kappa}=(\alpha_{n,m}/R)^2,\quad \psi_n'(\alpha_{n,m})=0.\] Построенная система собственных вектор-функций ротора полна и ортогональна в пространстве ${\mathbf{{L}}_{2}}(B)$. Собственные вектор-функции $(\mathbf{v}_\kappa, \ p_\kappa)$ оператора Стокса в шаре представляются в виде суммы двух собственных функций ротора, соответствующих противоположным собственным значениям: ${\mathbf{v}_{\kappa }}= \mathbf{u}_{\kappa }^{+}+\mathbf{u}_{\kappa }^{-},$ $p_\kappa=\hbox{const}$.