О бесконечной системе резонансов и собственных значений с экспоненциальными асимптотиками, порожденных разбегающимися возмущениями

Аннотация

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера с четырьмя потенциалами, разнесёнными на большие расстояния друг от друга. Все расстояния пропорциональны одному большому параметру. Исходные потенциалы имеют форму кинков, которые склеиваются друг с другом таким образом, что финальный потенциал обращается в нуль на бесконечности и между вторым и третьим потенциалами, и равен единице между первым и вторым, а также между третьим и четвертым потенциалами. Потенциалы не предполагаются вещественными и могут быть комплекснозначными. Показано, что при определенных, достаточно естественных и легко реализуемых условиях на исходные четыре потенциала, оператор с разбегающимися потенциалами имеет неограниченное число резонансов и/или собственных значений вида $\lambda=k_n^2$, $n\in\mathbb{Z}$, которые накапливаются вдоль заданного отрезка существенного спектра. Расстояние между соседними числами $k_n$ есть величина порядка обратной степени расстояния между потенциала, а мнимые части этих величин экспоненциально малы. Для чисел $k_n$ получены представления в виде пределов явно вычисляемых последовательностей и сумм бесконечных рядов и доказаны явные эффективные оценки на скорость сходимости последовательностей и для остатков рядов.