Об оптимизационной обратной спектральной задаче для оператора Штурма–Лиувилля с предопределенным частичным следом

Аннотация

Данная работа направлена на исследование оптимизационных обратных спектральных задач с так называемыми неполными спектральными данными. В качестве неполных спектральных данных рассматриваются частичные следы оператора Штурма–Лиувилля. В работе изучается следующая формулировка обратной спектральной задачи с неполными данными (оптимизационная задача): найти потенциал $ \hat{V} $, ближайший в некоторой норме к заданной функции $V_0$, такой, что частичный след оператора Штурма–Лиувилля с потенциалом $\hat{V}$ имел бы заданное значение. В основном результате работы мы доказываем теорему существования и единственности решений этой оптимизационной обратной спектральной задачи. При этом устанавливается новый тип связи между линейными спектральными задачами и системами нелинейных дифференциальных уравнений. Это позволяет найти решение оптимизационной обратной спектральной задачи путем решения системы нелинейных дифференциальных уравнений и получить новый результат о разрешимости системы нелинейных дифференциальных уравнений. Для доказательства единственности решений использовано свойство выпуклости частичного следа оператора Штурма–Лиувилля с потенциалом $\hat{V}$, как функционала от потенциала $\hat{V}$. В работе получено новое обобщение неравенства Лидского–Виландта на произвольные самосопряженные полуограниченные операторы с дискретным спектром.