О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений

Аннотация

Пусть на множестве $X\neq \emptyset$ задана метрика $\rho_X :X\times X \to [0,\infty],$ а на $Y\neq\emptyset$ — расстояние $d_Y :Y\times Y \to [0,\infty],$ удовлетворяющее только аксиоме тождества. Для отображений $X\to Y$ определены понятия накрывания и липшицевости. Сформулированы условия существования решения $x\in X$ уравнений вида $F(x,x)=y,$ $y \in Y,$ с отображением $F:X\times X \to Y,$ являющимся накрывающим по одному из аргументов и липшицевым по другому. Полученное утверждение применено для исследования разрешимости функционального уравнения с отклоняющимся аргументом и задачи Коши для неявного дифференциального уравнения. Для этого исследования на пространстве $S$ измеримых по (Лебегу) функций $z:[0,1]\to \mathbb{R}$ определено расстояние \begin{equation*} d (z_1,z_2)=\mathrm{vrai}\sup_{t\in[0,1]}\theta(z_1(t),z_2(t)),\,\,\, z_1,z_2\in S, \end{equation*} где для непрерывной функции $\theta:\mathbb{R}\times \mathbb{R} \to [0,\infty) $ выполнено $\theta(z_1,z_2)=0$ тогда и только тогда, когда $z_1=z_2.$