Об условиях локализации спектра модельного оператора для уравнения Орра–Зоммерфельда

Аннотация

Для модельного оператора $L(\varepsilon)$, связанного с уравнением Орра–Зоммерфельда, изучается вопрос о необходимости известных условий А.А. Шкаликова, достаточных для локализации спектра около графа формы «Y». Рассмотрены 2 типа потенциалов, при которых $\Gamma_\infty$ – неограниченная часть предельного спектрального графа (ПСГ) – построена в явном виде. Первый из них – кусочно-постоянный потенциал с счетным числом скачков. Показано, что если точки разрыва потенциала достаточно быстро сходятся к одному из концов интервала $(0,1)$, то $\Gamma_\infty$ состоит из счетного числа лучей. Второй тип представляет потенциал, склеенный из двух голоморфных функций. Показано, что $\Gamma_\infty$ состоит из двух кривых, если некоторая производная потенциала в точке склейки терпит скачок и выполняются условия Лангера на области, ограниченные линиями Стокса, при которых удается строить ВКБ-разложения. При бесконечно дифференцируемой склейке одних ВКБ-оценок для выявления спектральных портретов недостаточно. В связи с этим рассмотрена обратная задача: по некоторым спектральным данным выявить аналитические свойства потенциала вблизи интервала $(0,1)$. Чтобы понять характер спектральных данных, предварительно решена прямая задача с выходом в комплексную $\varepsilon$-плоскость. Оказалось, если предположить голоморфность потенциала в окрестности отрезка $[0,1]$, то при малых $\varepsilon$ из сектора $\mathcal{E}$ раствора $\pi/2$ для части спектра $L(\varepsilon)$ вне некоторого круга выполняются условия квантования типа Бора–Зоммерфельда. В заключительной части решена обратная задача. В качестве спектральных данных выбраны полученные в прямой задаче условия квантования в чуть ослабленной форме. Доказано, что если потенциал – монотонная непрерывно дифференцируемая функция и выполнены указанные условия, то потенциал допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность интервала $(0,1)$. Тем самым доказана необходимость (хотя бы в локальном смысле) условий Шкаликова.