О преобразовании Фурье–Лапласа одного класса обобщенных функций

Аннотация

Рассматривается подпространство пространства Шварца бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций в неограниченной замкнутой выпуклой области многомерного вещественного пространства с топологией, определяемой счетным семейством норм, образованных при помощи семейства ${\mathfrak M}$ логарифмически выпуклых последовательностей положительных чисел. Благодаря условиям на указанные последовательности данное пространство является пространством Фреше–Шварца. Изучается задача описания сильного сопряженного для этого пространства в терминах преобразования Фурье–Лапласа функционалов. Частные случаи этой задачи рассматривались Роевером в ходе исследования проблем математической физики, комплексного анализа в рамках развитой им теории ультрараспределений с носителями в неограниченном замкнутом выпуклом множестве, а таже П. В. Яковлевой (Федотовой) и автором. Основной результат работы, полученный в Теореме I, утверждает, что преобразование Фурье–Лапласа линейных непрерывных функционалов устанавливает изоморфизм между сильным сопряженным к рассматриваемому функциональному пространству и пространством голоморфных функций в трубчатой области вида ${\mathbb{R}}^n + iC$, где $C$ – открытый выпуклый острый конус в ${\mathbb{R}}^n$ с вершиной в начале, с определенными мажорантами роста на бесконечности и вблизи границы трубчатой области. Данная работа также примыкает к исследованиям В. С. Владимирова, посвященным теории преобразования Фурье–Лапласа распределений медленного роста и пространствам функций, голоморфных в трубчатых областях. При доказательстве Теоремы I используются схема, предложенная М. Наймарком и Б. А. Тейлором, и ряд предыдущих результатов П.В. Яковлевой (Федотовой) и автора, относящихся к теоремам типа Пэли-–Винера–Шварца для ультрараспределений.