Теоремы типа Лиувилля для функций конечного порядка

Аннотация

Выпуклая, субгармоническая или плюрисубгармоническая функция соответственно на вещественной прямой, на конечномерном вещественном или комплексном пространстве называется функцией конечного порядка, если она растёт не быстрее некоторой положительной степени модуля переменной при стремлении её к бесконечности. Целая функция на конечномерном комплексном пространстве называется функцией конечного порядка, если логарифм её модуля — (плюри)субгармоническая функция конечного порядка. Измеримое множество в $m$-мерном вещественном пространстве называется множеством нулевой относительной лебеговой плотности, если лебегова мера части этого множества в шаре радиуса $r$ — величина порядка $o(r^m)$ при $r\to +\infty$. В этой заметке доказано, что выпуклые функции конечного порядка на вещественной прямой и субгармонические функции конечного порядка на конечномерном вещественном пространстве, ограниченные сверху вне некоторого множества нулевой относительной лебеговой плотности, ограничены сверху всюду. Отсюда следует, что субгармонические функции конечного порядка на комплексной плоскости, целые и плюрисубгармонические функции конечного порядка, а также выпуклые или гармонические функции конечного порядка, ограниченные сверху вне некоторого множества нулевой относительной лебеговой плотности, являются постоянными.