Рост субгармонических функций вдоль прямой и распределение их мер Рисса

Аннотация

Пусть $u\not\equiv -\infty$ и $M\not\equiv -\infty$ — две субгармонические функции на комплексной плоскости $\mathbb C$ с мерами Рисса $\nu_u$ и $\mu_M$ соответственно, для которых $u(z)\leq O(|z|)$ и $M(z)\leq O(|z|)$ при $z\to \infty$, $q$ — некоторая положительная непрерывная функция на вещественной оси $\mathbb R$, а ${\rm mes}$ — линейная мера Лебега на $\mathbb R$. Предположим, что имеет место ограничение на рост функции $u$ вдоль мнимой оси $i\mathbb R$ вида $$ u(iy)\leq \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}M\bigl(iy+q(y)e^{i\theta}\bigr)\,{\rm d}\theta +q(y) \quad\text{для всех } y\in \mathbb R\setminus E, $$ где $E\subset \mathbb R$ некоторое малое множество, например, ${\rm mes}\bigl(E\cap [-r,r]\bigr)\leq q(r)$ при $r\geq 0$. При таких ограничениях на функцию $u$ естественно ожидать, что мера Рисса $\nu_u$ в каком-то смысле тоже мажорируется мерой Рисса $\mu_M$ функции $M$ или интегральными характеристиками функции $M$. Мы даем строгую количественную форму такого доминирования. Необходимость такого рода оценок естественным образом возникает в теории целых функций в связи с ее приложениями к вопросам полноты экспоненциальных систем, аналитического продолжения и пр. Наши результаты формулируются в терминах специальных «логарифмических» характеристик мер $\nu_u$ и $\mu_M$, возникших ранее в классических работах П. Мальявена, Л. А. Рубела и др. для последовательностей точек, а также в терминах специальных «логарифмических» характеристик поведения функции $M$ вдоль мнимой оси и функции $q$ вдоль вещественной оси. Полученные результаты являются новыми и для распределения корней целых функций экспоненциального типа при ограничениях на рост таких функций вдоль прямой. Последнее проиллюстрировано новой теоремой единственности для целых функций экспоненциального типа, использующей так называемые логарифмические блок-плотности распределения точек на комплексной плоскости.