Почти периодические на бесконечности решения интегро-дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной

Аннотация

Работе рассматривается интегро-дифференциальное уравнение с необратимым оператором при производной в пространстве равномерно непрерывных ограниченных функций, интегральная часть которого представляет собой свертку операторнозначной борелевской меры с компактным носителем и векторной непрерывной ограниченной функции. Получены достаточные условия (спектральные условия) почти периодичности на бесконечности ограниченных решений данного уравнения. В основе приведенных результатов лежит доказанное утверждение о том, что если правая часть рассматриваемого уравнения принадлежит $C_{0}(\mathbb{J},X)$ — пространству стремящихся к нулю на бесконечности функций, то спектр Берлинга каждого слабого решения содержится в сингулярном множестве характеристического уравнения. В частности, для уравнений вида $\mu \ast x=\psi,$ где функция $\psi\in C_{0}(\mathbb{J},X)$ и носитель $\text{supp} \mu$ скалярной меры $\mu$ компактен, установлено, что каждое классическое решение является почти периодической на бесконечности. Получено, что если сингулярное множество характеристической функции рассматриваемого уравнения не имеет предельных точек на $\mathbb{R},$ то каждое слабое решение является почти периодической на бесконечности. Исследована структура ограниченных решений в терминах медленно меняющихся на бесконечности функций. Приведены приложения к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям. Получено, что ограниченное решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения, когда правая часть — убывающее на бесконечности отображение, а сингулярное множество характеристической функции не имеет конечных предельных точек на $\mathbb{R},$ является почти периодической на бесконечности функцией. Основные результаты статьи получены на основе методов абстрактного гармонического анализа. Существенно используется спектральная теория банаховых модулей.