О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле во всем пространстве, связанной с некоэрцитивной формой

Аннотация

Исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов высшего порядка во всем $n$-мерном евклидовом пространстве, коэффициенты которых имеют степенное вырождение на бесконечности. Постановка исследуемой задачи связана с интегро-дифференциальной полуторалинейной формой, которая может не удовлетворять условию коэрцитивности. Ранее вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, связанных с некоэрцитивными формами, исследовалась, в основном, в случае ограниченной области, и применялся метод, основанный на конечном разбиении единицы области. В отличие от этого, в настоящей работе применяется специальное бесконечное разбиение единицы всего евклидова пространства конечной кратности. Применяемый метод основан на элементах теории пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных со степенным весом. Граничные условия в исследуемой задачи считаются однородными в том смысле, что решение исследуемой задачи ищется в функциональном пространстве, в котором плотно множество бесконечно дифференцируемых финитных функций. Рассматриваемый дифференциальный оператор зависит от комплексного параметра $\lambda$, и существование и единственность решения вариационной задачи Дирихле доказывается в случае, когда $\lambda$ принадлежит некоторому угловому сектору с вершиной в нуле, содержащим отрицательную часть действительной оси. При дополнительных условиях на гладкость коэффициентов и правой части уравнения изучаются дифференциальные свойства решения исследуемой задачи.