Критерий эквивалентности двух асимптотических формул

Аннотация

Исследуются условия эквивалентности двух асимптотических формул для произвольной неубывающей неограниченной последовательности $\{\lambda_n\}$. Показано, что если $g$ — неубывающая и неограниченная на бесконечности функция, $\{f_n\}$ — неубывающая последовательность, асимптотически обратная к функции $g$, то для любой последовательности вещественных чисел $\lambda_n$, удовлетворяющих асимптотической оценке $\lambda_n\sim f_n,\ n\to+\infty,$ верна и оценка $N(\lambda)\sim g(\lambda), $ $ \lambda\to+\infty$, тогда и только тогда, когда $g$ — почти правильно меняющаяся функция (PRV-функция). Также найдено необходимое и достаточное условие на неубывающие последовательность $\{f_n\}$ и функцию $g$, при котором вторая формула влечет первую. Используя полученный критерий, найден нетривиальный класс возмущений, сохраняющих асимптотику спектра произвольного замкнутого, плотно определенного в сепарабельном гильбертовом пространстве оператора, имеющего хотя бы один луч наилучшего убывания резольвенты. Этот результат является первым обобщением известной теоремы Келдыша на случай операторов, не близких к самосопряженным или нормальным, спектр которых может сильно меняться под действием малых возмущений. Получены также близкие к необходимым достаточные условия на потенциал, при которых спектр оператора Штурма–Лиувилля на кривой имеет такую же асимптотику, как в случае потенциала, имеющего в выпуклой оболочке кривой конечное число полюсов, удовлетворяющих условию тривиальной монодромии.