Алгебраичность решетки $\tau$-замкнутых тотально $\omega$-насыщенных формаций конечных групп

Аннотация

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. В дальнейшем $\omega$ обозначает некоторое непустое множество простых чисел, а $\tau$ — подгрупповой функтор в смысле А.Н. Скибы. Напомним, что формацией называется класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Функции вида $f:\omega\cup\{\omega'\}\to\{\text{формации групп}\}$ называются $\omega$-локальными спутниками (формационными $\omega$-функциями). При помощи таких функций исследуется строение $\omega$-насыщенных формаций. Настоящая статья посвящена изучению свойств решетки всех функторно замкнутых тотально частично насыщенных формаций, связанных с понятием алгебраичности решетки формаций. Доказано, что для любого подгруппового функтора $\tau$ решетка $l_{\omega_{\infty}}^{\tau}$ всех $\tau$-замкнутых тотально $\omega$-насыщенных формаций является алгебраической. Это обобщает результат, полученный ранее В.Г. Сафоновым. В качестве следствия основного результата установлена алгебраичность решетки $l_{p_{\infty}}^{\tau}$ всех $\tau$-замкнутых тотально $p$-насыщенных формаций, а также алгебраичность решетки $l_{\infty}^{\tau}$ всех $\tau$-замкнутых тотально насыщенных формаций. Аналогичные результаты получены для решеток функторно замкнутых тотально частично насыщенных формаций, соответствующих некоторым подгрупповым функторам $\tau$. Тем самым найдены новые классы алгебраических решеток формаций конечных групп.