О приложениях суммарного уравнения, индуцированного четырехугольником

Аннотация

Пусть $D$ — произвольный четырехугольник. Рассматриваем заданное на нем линейное суммарное четырехэлементное уравнение в классе решений, голоморфных вне $D$ и исчезающих на бесконечности. Их граничные значения удовлетворяют условию Гёльдера на любом компакте, не содержащем вершин. В вершинах допускаются, самое большее, логарифмические особенности. Свободный член голоморфен в $D$, и его граничное значение удовлетворяет условию Гёльдера. Он не обязан быть аналитически продолжимым через какой-либо отрезок границы, т.е. решение и свободный член принадлежат разным классам голоморфных функций. Для регуляризации данного уравнения на границе четырехугольника вводится кусочно-линейный сдвиг Карлемана, отображающий каждую сторону в себя с изменением ориентации. Этот сдвиг разрывен в вершинах и имеет неподвижные точки в серединах сторон. Решение представимо в виде интеграла типа Коши по границе с неизвестной плотностью, инвариантной относительно сдвига на одной паре соседних сторон и антиинвариантной на другой. Показано, что регуляризация является равносильной. В некоторых частных случаях полученное уравнение Фредгольма разрешимо. В качестве примера взят некоторый четырехугольник, у которого один из углов развернутый. Строится система целых функций вполне регулярного роста, биортогональная с кусочно квазиполиномиальным весом системе степеней на трех лучах.