Стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей ограниченного искривления положительной кривизны

Аннотация

В предлагаемой заметке выводится стохастический аналог уравнений Гаусса–Петерсона–Кодацци и приводится стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей положительной кривизны ограниченного искривления. В 1956 году И.Я. Бакельман вывел уравнения Гаусса–Петерсона–Кодацци для поверхностей ограниченного искривления, т.е. для поверхностей, задаваемых функциями с непрерывными первыми производными и суммируемыми с квадратом обобщёнными вторыми производными в смысле Соболева. В 1988 г. Ю.Е. Боровский доказал, что уравнения, выведенные И.Я. Бакельманом, однозначно определяют поверхность ограниченного искривления. Целью настоящей работы является изложение результатов И.Я. Бакельмана и Ю.Е. Боровского на языке теории случайных процессов в случае поверхности ограниченного искривления положительной кривизны. С помощью двух основных форм поверхности строятся два случайных процесса и выводится система уравнений, связывающих между собой характеристики (переходные функции) этих процессов. Полученная система является стохастическим аналогом системы уравнений Гаусса–Петерсона–Кодацци и является необходимым и достаточным условием для однозначного определения поверхности (с точностью до движения). Отметим, что генераторами случайных процессов являются операторы второго порядка, порожденные основными формами поверхности. Например, если метрика поверхности задается выражением $I=ds^2=g_{ij}dx^i dx^j$, то генератор соответствующего процесса имеет вид $A=g^{ij}\partial_i \partial_j$. Далее, устанавливается взаимосвязь между переходными функциями случайного процесса и коэффициентами генератора. Полученные выражения подставляются в обобщенные уравнения Гаусса–Петерсона–Кодацци, что и приводит к искомому результату.