Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанное на обобщенных кратных рядах Фурье

Аннотация

Посвящена разложению повторных стохастических интегралов Стратоновича кратностей 1–4 на основе метода обобщенных кратных рядов Фурье. Доказана среднеквадратическая сходимость полученных разложений для случая полиномов Лежандра, а также для случая тригонометрических функций. Рассмотренные разложения содержат только одну операцию предельного перехода в отличие от существующих аналогов. Это свойство очень удобно для среднеквадратической аппроксимации повторных стохастических интегралов. Хорошо известно, что перспективный подход к численному решению стохастических дифференциальных уравнений Ито, которые являются адекватными математическими моделями динамических систем различной физической природы под влиянием случайных возмущений, это подход, основанный на стохастических аналогах формулы Тейлора для решения этих уравнений. Рассмотренные в статье повторные стохастические интегралы Стратоновича являются частью так называемого разложения Тейлора–Стратоновича, которое является одной из версий упомянутых стохастических аналогов формулы Тейлора. Поэтому результаты статьи могут быть применены к построению сильных численных методов порядков сходимости 1.0, 1.5 и 2.0 для стохастических дифференциальных уравнений Ито. Рассмотренный в статье метод обобщенных кратных рядов Фурье не приводит к разбиению интервала интегрирования повторных стохастических интегралов Стратоновича. Эта особенность существенна из-за малости указанного интервала интегрирования, так как этот интервал играет роль шага интегрирования в численных методах для стохастических дифференциальных уравнений Ито.