О задаче Коши для уравнения Лапласа

Аннотация

Работа посвящена изучению продолжения и оценки устойчивости решения задачи Коши для уравнения Лапласа в области $G$ по ее известным значениям на гладкой части $S$ границы $\partial G$. Рассматриваемая задача относится к задачам математической физики, в которых отсутствует непрерывная зависимость решений от начальных данных. При решении прикладных задач следует найти не только приближённое решение, а также производную приближённого решения. В работе при помощи функции Карлемана восстанавливаются по данным Коши на части границы области не только сама гармоническая функция, но и её производные. Если функции Карлемана построена, то используя формулу Грина, можно найти регуляризованное решение в явном виде. Показано, что эффективное построение функции Карлемана эквивалентно построению регуляризованного решения задачи Коши. Предполагается, что решение задачи существует и непрерывно дифференцируемо в замкнутой области с точно заданными данными Коши. Для этого случая устанавливается явная формула продолжения решения и её производной, а также формула регуляризации для случая, когда при указанных условиях вместо начальных данных Коши заданы их непрерывные приближения с заданной погрешностью в равномерной метрике. Получены оценки устойчивости решения задачи Коши в классическом смысле.