Перенормировки идеальных пространств измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Аннотация

Работа посвящена некоммутативным аналогам классических методов построения функциональных пространств. Пусть алгебра фон Неймана ${\mathcal M}$ операторов действует в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$. Пусть $ \widetilde{\mathcal{M}}$ — $\ast$-алгебра $\tau$-измеримых операторов, $|X|=\sqrt{X^*X}$ для $X \in \widetilde{\mathcal{M}}$. Линеал $\mathcal{E}$ в $ \widetilde{\mathcal{M}}$ называется идеальным пространством на $(\mathcal{M}, \tau)$, если 1) из $X \in \mathcal{E}$ следует, что $X^* \in \mathcal{E}$; 2) из $X \in \mathcal{E}$, $Y \in \widetilde{\mathcal{M}}$ и $|Y| \leq |X|$ следует, что $Y \in \mathcal{E}$. Пусть $\mathcal{E}$, $\mathcal{F}$ — идеальные пространства на $(\mathcal{M}, \tau )$. Предложен метод построения отображения $ \tilde{\rho} \colon \mathcal{E}\to [0, +\infty]$ с хорошими свойствами, используя заданное на положительном конусе $ \mathcal{E}^+$ отображение $\rho$. При этом, если $\mathcal{E}= \mathcal{M}$ и $\rho = \tau$, то $ \tilde{\rho}(X)=\tau (|X|)$ и, в случае конечности следа $\tau$, $ \tilde{\rho}(X)=\|X\|_1$, для всех $X\in \mathcal{M}$. Исследован случай, когда $ \tilde{\rho}(X)$ эквивалентно исходному отображению $\rho (|X|)$. Используя отображения на $\mathcal{E}$ и $\mathcal{F}$, построено новое отображение с хорошими свойствами на сумме $\mathcal{E}+\mathcal{F}$. Приведены примеры таких отображений. Результаты являютя новыми и для $\ast$-алгебры $\mathcal{M}=\mathcal{B}(\mathcal{H})$ всех ограниченных линейных операторов в $\mathcal{H}$, снабженной каноническим следом $\tau =\mathrm{tr}$.