Асимптотика собственных значений бесконечных блочных матриц

Аннотация

Статья посвящена определению асимптотического поведения собственных значений — одному из актуальных направлений в исследовании операторов, порожденных трехдиагональными бесконечными блочными матрицами в гильбертовом пространстве бесконечных последовательностей конечномерных векторов с комплексными координатами или дискретных операторов Штурма–Лиувилля. В работе рассматривается класс несамосопряженных операторов с дискретным спектром, которые представляются в виде суммы самосопряженного оператора, играющего роль невозмущенного оператора, и возмущения, являющегося компактным оператором относительно невозмущенного оператора. Для исследования асимптотического поведения собственных значений в статье разрабатывается адаптированная схема абстрактного метода подобных операторов. Основная идея этого подхода заключается в том, что с помощью оператора преобразования подобия изучение спектральных свойств исходного оператора сводится к изучению свойств оператора, который имеет более простую структуру. Используя эту схему, выписываются формулы для асимптотики средних арифметических собственных значений рассматриваемого класса операторов. Отметим, что данный подход существенно отличается от тех, которые использовались ранее. Полученный общий результат применяется к определению собственных значений конкретных операторов. А именно, приводятся формулы для асимптотики собственных значений операторов, порожденных симметрическими и несимметрическими трехдиагональными бесконечными матрицами в скалярном случае, для асимптотики средних арифметических собственных значений операторов, порожденных блочными матрицами со степенным поведением собственных значений невозмущенного оператора и обобщенными якобиевыми матрицами с различным числом ненулевых побочных диагоналей.