Об одном классе интегральных уравнений с частными интегралами и его приложениях

Аннотация

Доказаны существование и единственность решения для одного класса систем интегральных уравнений с частными интегралами. Интегральными уравнениями с частными интегралами называют интегральные уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаками интегралов различной кратности. Рассматриваемый в статье класс интегральных уравнений характеризуется тем, что уравнения содержат интегралы как с переменными, так и с постоянными верхними пределами интегрирования. Предварительно доказывается теорема существования и единственности для интегральных уравнений в трехмерном пространстве. Затем аналогичное утверждение доказывается для уравнений с произвольным числом независимых переменных. Указаны некоторые приложения полученного результата. Для гиперболической системы с доминирующими производными второго порядка с тремя независимыми переменными доказаны существование и единственность решения основной характеристической задачи. Основная характеристическая задача для системы уравнений с доминирующими производными второго порядка может рассматриваться как аналог задачи Гурса для гиперболической системы без кратных характеристик. Решение указанной задачи построено в явном виде в терминах матрицы Римана. Матрица Римана определена как решение системы интегральных уравнений Вольтерры. Сформулирована задача с граничными условиями на пяти сторонах характеристического параллелепипеда для указанной системы уравнений с доминирующими производными второго порядка. Путем сведения задачи к системе уравнений с частными интегралами, опираясь на полученные результаты, доказаны существование и единственность решения задачи.