О функции Грина аналога третьей краевой задачи для полигармонического уравнения

Аннотация

Предлагается метод построения функций Грина некоторых краевых задач для полигармонического уравнения в многомерном единичном шаре. Рассматриваемые задачи являются аналогами третьей краевой задачи для неоднородного полигармонического уравнения. Для исследования разрешимости этих задач сначала в классе гладких в шаре функций приводятся свойства некоторых интегро-дифференциальных операторов. Затем, используя свойства этих операторов, рассматриваемые задачи сводятся к эквивалентной задаче Дирихле со специальной правой частью. Далее, используя известные утверждения относительно задачи Дирихле, для основных задач доказаны теоремы о существования и единственности решения. Получены также интегральные представления решений этих задач через решения задачи Дирихле. Используя явный вид функции Грина, найдено интегральное представление задачи Дирихле со специальной правой частью. Полученное интегральное представление в дальнейшем используется для построения функции Грина аналогов третьей краевой задачи. Далее, приводится методика построения функции Грина основных задач. Для построения функции Грина этих задач изучены дифференциальные свойства фундаментального решения полигармонического оператора. Полученные свойства фундаментального решения применены для исследования свойств функции Грина задачи Дирихле. Построены представления функции Грина аналогов третьей краевой задачи. При нахождении функции Грина этой задачи существенно используется явный вид функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения. А именно, функция Грина этих задач представлена в виде суммы функция Грина задачи Дирихле и некоторого интегрального члена. Полученные представления функции Грина согласуются с результатами, полученными ранее для уравнения Лапласа.