Конформные инварианты плоских областей гиперболического типа

Аннотация

Рассматриваются плоские области гиперболического типа и конформно инвариантные функционалы, определяемые как наилучшие константы в неравенствах типа Харди. Исследуется взаимосвязь между этими функционалами и оптимальными константами в гиперболических изопериметрических неравенствах. Изучаемые неравенства типа Харди содержат весовые функции, зависящие от гиперболического радиуса области, и являются конформно инвариантными. Доказано, что положительность констант в неравенствах типа Харди связана с существованием гиперболических изопериметрических неравенств специального вида. Доказана теорема сравнения констант Харди с различными числовыми параметрами. Изучена связь между линейным гиперболическим изопериметрическим неравенством в некоторой области и евклидовым максимальным модулем этой области. Существенную роль в доказательствах играют характеристики областей, имеющих равномерно совершенные границы. Кроме того, мы обобщаем некоторые результаты из следующих двух статей: 1) J.L. Fernández, J.M. Rodríguez, The exponent of convergence of Riemann surfaces, bass Riemann surfaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Series A. I. Mathematica. V. 15. 1990. P. 165-183. 2) V. Alvarez, D. Pestana, J.M. Rodríguez, Isoperimetric inequalities in Riemann surfaces of infinite type // Revista Matemática Iberoamericana, Vol. 15, № 2. 1999. P. 353-425.