Простейшие графы с малыми ребрами: асимптотики резольвент и голоморфная зависимость спектра

Аннотация

Рассматривается простейший граф, состоящий из двух ребер конечной длины и малого ребра с общей внутренней вершиной. Длина малого ребра считается малым параметром в задаче. На таком графе ребре рассматривается оператор Шрёдингера с условием Кирхгофа во внутренней вершине, условиями Дирихле на внешних вершинах конечных ребер и условием Дирихле либо условием Неймана на внешней вершине малого ребра. Показано, что такой оператор в смысле равномерной резольвентной сходимости сходится к оператору Шрёдингеру на графе без малого ребра, для которого во внутренней вершине следует поставить условие Дирихле, если на внешней вершине малого ребра исходно ставилось условие Дирихле. Если же на внешней вершине малого ребра исходно ставилось условие Неймана, то в пределе во внутренней вершине сохраняется условие Кирхгофа, в котором тем не менее может измениться коэффициент. Основной полученный результат для резольвент — выяснение вида первой поправки в их асимптотике и получение оценки остатка. Вторая часть работы посвящена изучению зависимости собственных значений от малого параметра. Несмотря на сингулярное возмущение графа, собственные значения зависят от малого параметра голоморфно и представляются сходящимися степенными рядами. Обнаружено, что при возмущении могут возникать неподвижные собственные значения, остающиеся на месте и не зависящие от малого параметра. Приведен критерий, определяющий возникновение таких собственных значений. Для подвижных собственных значений выписаны формулы для коэффициента в первом члене в их ряде Тейлора.