Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит от медленных и быстрых переменных

Аннотация

Рассматривается задача оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества для одной линейной системы с быстрыми и медленными переменными в классе кусочно–непрерывных управлений с гладкими ограничениями на управление $$ \left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}_{\varepsilon} = A_{11}x_{\varepsilon} + A_{12}y_{\varepsilon}+B_{1}u,\quad t\in[0,T],\quad \|u\|\leqslant 1,\\[2ex] \varepsilon\dot{y}_{\varepsilon} = A_{22}y_{\varepsilon} + B_{2}u,\quad x_{\varepsilon}(0)=x^{0},\quad y_{\varepsilon}(0)=y^{0},\quad \nabla\varphi_2(0)=0,\\[2ex] J(u)\mathop{:=}\nolimits \varphi_1\left(x_\varepsilon(T)\right) + \varphi_2\left(y_\varepsilon(T)\right) + \int\limits_{0}^{T}\|u(t)\|^2\,dt\rightarrow \min, \end{array} \right. $$ где $x_{\varepsilon}\in\mathbb{R}^{n}$, $y_{\varepsilon}\in\mathbb{R}^{m}$, $ u\in\mathbb{R}^{r}$; $A_{ij}$, $B_{i}$, $i,j=1,2$ — постоянные матрицы соответствующей размерности, а $\varphi_{1}(\cdot), \varphi_{2}(\cdot)$ — непрерывно дифференцируемые на $\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}$ строго выпуклые и кофинитные функции в смысле выпуклого анализа. В общем случае для такой задачи принцип максимума Понтрягина является необходимым и достаточным условием оптимальности и существуют единственные векторы $l_\varepsilon$ и $\rho_\varepsilon$, определяющие оптимальное управление по формуле $$ u_{\varepsilon}(T-t):= \frac{C_{1,\varepsilon}^{*}(t)l_{\varepsilon} + C_{2,\varepsilon}^{*}(t)\rho_{\varepsilon}} {S\left(C_{1,\varepsilon}^{*}(t)l_{\varepsilon} + C_{2,\varepsilon}^{*}(t)\rho_{\varepsilon}\right)}, $$ где $$ C_{1,\varepsilon}^{*}(t):= B^*_1 e^{A^*_{11}t} + \varepsilon^{-1}B^*_2\mathcal{W}^{*}_\varepsilon(t),\quad C_{2,\varepsilon}^{*}(t):= \varepsilon^{-1} B^*_2 e^{A^*_{22} t/\varepsilon}, $$ $$ \mathcal{W}_\varepsilon(t):= e^{A_{11}t}\int\limits_{0}^{t} e^{-A_{11}\tau}A_{12}e^{A_{22} \tau/\varepsilon}\,d\tau, \quad S(\xi)\mathop{:=}\nolimits \left\{ \begin{array}{ll} 2, & 0\leqslant \xi\leqslant2,\\[1ex] \xi, & \xi>2. \end{array} \right. $$ Основное отличие статьи от ранее опубликованных работ по данной тематике заключается в том, что терминальная часть функционала качества зависит не только от медленных переменных, но и от быстрых переменных, а сама управляемая система имеет более общий вид. Доказано, что в случае конечного числа точек смены вида управления, начинающихся с постоянного знаменателя, можно построить асимптотику начального вектора сопряженного состояния $\lambda_\varepsilon = \left( l_\varepsilon^*\:\rho_\varepsilon^*\right)^*$, который определяет вид оптимального управления. Показано, что асимптотика имеет степенной характер.