Предельные множества Азарина функций и асимптотическое представление интегралов

Аннотация

В представленной статье рассматриваются интегралы вида $$\int\limits_a^b f(t)\exp[i\varphi(rt)\ln(rt)]\,dt\,,$$ где $\varphi(r)$ — гладкая, возpастающая функция на полуоси $[0,\infty)$ такая, что $\lim_{r\to+\infty}\varphi(r)=\infty$. Получены точные сведения об их асимптотическом поведении. Мы доказываем аналог леммы Римана–Лебега для тригонометрических интегралов. Применение этой леммы позволяет получить асимптотические формулы для интегралов с абсолютно непрерывной функцией. Предлагаемый метод получения асимптотических формул отличается от классических методов (метод Лапласа, применение теории вычетов, метод перевала и др.) Чтобы добиться большей цельности изложения мы, по большей части, ограничиваемся ядрами $\exp[i\ln^p(rt)]$. Соответствующие условия гладкости на функцию $f(t)$ позволяют получать многочленные формулы. Свойства интегралов и методы получения асимптотических оценок различаются для случаев $p\in(0,1)$, $p=1$, $p>1$. При $p\in(0,1)$ асимптотические разложения получаются уже другим методом — методом разложения ядра в ряд. Рассматриваются случаи, когда в качестве абсолютно непрерывной функции $f(t)$ берется произведение степенной функции $t^\rho$ на ядро Пуассона или сопряженное ядро Пуассона для полуплоскости, а в качестве промежутка интегрирования берется мнимая полуось. Вещественные и мнимые части этих интегралов представляют собой гармонические функции в комплексной плоскости, разрезанной по положительному лучу. Найдены предельные множества Азарина для таких функций.