Спектральная теория функций в исследовании дифференциальных операторов с частными производными

Аннотация

Работа посвящена изучению спектральных свойств дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, определённых на подпространствах непрерывных ограниченных функций. Основными методами являются спектральная теория банаховых модулей, теория функций, абстрактный гармонический анализ и теория представлений, которые развиты и подробно описаны в монографии А. Г. Баскакова «Гармонический анализ в банаховых модулях и спектральная теория линейных операторов», г. Воронеж, Издательский дом ВГУ, 2016 г. Вводится в рассмотрение алгебра полиномов, при помощи которых задаются дифференциальные операторы. Вводятся замкнутые подпространства пространства непрерывных ограниченных функций, которые называются однородными пространствами функций и играют важную роль в анализе. Также вводится класс спектрально однородных пространств. Получены результаты, связывающие множество нулей полинома со свойствами ядер и образов, индуцированных этими полиномами дифференциальных операторов. Вводится понятие регулярного на бесконечности полинома (условия типа эллиптичности) и приводятся важные примеры дифференциальных операторов с частными производными, построенных по таким полиномам. Получены условия обратимости таких дифференциальных операторов. В частности, получены критерии обратимости в спектрально однородных пространствах и пространствах периодических функций. Получен результат о совпадении спектра дифференциального оператора с образом полинома, определяющего этот оператор, в спектрально однородных пространствах. Получены условия компактности резольвенты дифференциальных операторов с частными производными, определяемых регулярными на бесконечности полиномами.