Об одной интерполяционной задаче в классе функций экспоненциального типа в полуплоскости

Аннотация

Хорошо известны условия разрешимости интерполяционной задачи $f(n)=d_{n},\quad n\in {\mathbb N} $ в классе целых функций, удовлетворяющих условию ${ \left| {f(z)} \right|\le e^{\pi \left| {Imz} \right|+o\left( {\left| z \right|} \right)}, z\to \infty.}$ В представленной статье исследуется интерполяционная задача $f(\lambda _{n} ) = d_{n} $ в классе функций экспоненциального типа в полуплоскости. Найдены достаточные условия разрешимости расматриваемой задачи. В частности, обобщена достаточная часть интерполяционной теоремы Карлесона и найден аналог классического интерполяционного условия в виде $${\sum\limits_{j = k}^{\infty} {\text{Re}\left( - \xi _{j} {\frac{{\lambda _{k} ^{2} - 1}}{{\lambda _{k} + \overline {\lambda _{j}}} } } \right)}} \le c_{3} , \quad \xi _{j} : = {\frac{{\text{Re}\lambda _{j}}} {{1 + {\left| {\lambda _{j}} \right|}^{2}}}}.$$ Обсуждается также вопрос о необходимости достаточных условий. Результаты применены к исследованию одной задачи о расщеплении и поиску аналога равенства $2\cos z=\exp(-iz)+\exp(iz)$ для каждой функции экспоненциального типа в полуплоскости. Доказано, что каждая голоморфная в правовой полуплоскости функция $f$, для которой в этой полуплоскости выполняется оценка $\left| {f(z)} \right|\le O(\exp(\sigma| {Imz}|))$, представима в виде $f=f_1+f_2$, и при этом гололомофные в этой же полуплоскости функции $f_1$ и $f_2$ удовлетворяют условиям $\left| {f_1(z)} \right|\le O (\exp(| z|h_{-}(\varphi)))$ и $\left| {f_2(z)} \right|\le O(\exp(| z|h_{+}(\varphi)))$, где $\sigma\in [0;+\infty)$, $z = re^{i\varphi}$, $$h_{ +} (\varphi ) = \left\{ \begin{aligned} &\sigma {\left| {\sin \varphi} \right|}, && \varphi \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right], \\ &0, &&\varphi \in \left[-\frac{\pi}{2};0\right], \end{aligned}\right. \qquad h_{ -} (\varphi ) = \left\{ \begin{aligned} &0, &&\varphi \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right], \\ &\sigma {\left| {\sin \varphi} \right|}, && \varphi \in \left[ -\frac{\pi}{2};0\right]. \end{aligned}\right. $$ В работе используются методы из работ Карлесона, Джонса П., Казаряна К., Малютина К. и других математиков.