Разрешимость задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x),$ $f_2={g_2}v(t,x)$

Аннотация

Рассмотрена задача Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x),$ $f_2={g_2}v(t,x).$ Исследование разрешимости задачи Коши основано на методе дополнительного аргумента. Получены достаточные условия существования и единственности локального решения задачи Коши в исходных координатах для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x),$ $f_2={g_2}v(t,x),$ при которых решение имеет такую же гладкость по $x$, как и начальные функции задачи Коши. Сформулирована теорема о локальном существовании и единственности решения задачи Коши. Приведено доказательство теоремы о локальном существовании и единственности решения задачи Коши. Теорема о локальном существовании и единственности решения задачи Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x),$ $f_2={g_2}v(t,x)$ доказана с помощью метода дополнительного аргумента. Получены достаточные условия существования и единственности нелокального решения задачи Коши в исходных координатах для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x),$ $f_2={g_2}v(t,x).$ Сформулирована теорема о нелокальном существовании и единственности решения задачи Коши. Приведено доказательство теоремы о нелокальном существовании и единственности решения задачи Коши. Доказательство нелокальной разрешимости задачи Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями $f_1={a_2}u(t,x) + {b_2}(t)v(t,x),$ $f_2={g_2}v(t,x)$ опирается на глобальные оценки.