Об изоморфности некоторых функциональных пространств при действии интегро-дифференциальных операторов

Аннотация

Рассматриваются представления «второго рода» для решений общей линейной равномерно эллиптической системы первого порядка в единичном круге ${D= \{z : |z| \leq 1\}}$ в комплексной записи \begin{equation*} \mathcal D w \equiv \partial_{\bar z} w + q_1(z) \partial_z w + q_2(z) \partial_{\bar z} \overline w +A(z)w+B(z) \overline w=R(z), \end{equation*} где $w=w(z)=u(z)+iv(z)$ — искомая комплексная функция, $q_1(z)$ и $q_2(z)$ — заданные измеримые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы \begin{equation*} |q_1(z)| + |q_2(z)| \leq q_0 = {\rm const}<1,\, z\in \overline D, \end{equation*} $A(z),\,B(z), \,R(z)\in L_p(\overline D),\,p>2$, — также заданные комплексные функции. Представление второго рода основывается на известной формуле Помпейю: если $w\in W^1_p(\overline D)$, $p>2$, то \begin{equation*} \displaystyle w(z) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \dfrac{w(\zeta)}{\zeta-z}d \zeta - \dfrac{1}{\pi}\iint\limits_D \dfrac{\partial w}{\partial \bar z} \cdot \dfrac{d \xi d \eta}{\zeta-z}, \end{equation*} откуда для данного решения $w \in W^1_p(\overline D)$, $p>2$, при $A(z),\,B(z),\,R(z)\in L_p(\overline D)$ можно записать представление второго рода \begin{equation*} \Omega(w) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \dfrac{w(\zeta)}{\zeta-z}d \zeta +TR(z) \end{equation*} где $ \Omega(w) \equiv w(z) + T ( q_1(z) \partial_z w + q_2(z) \partial_{\bar z} \overline w +A(z)w + B(z) \overline w).$ Установлено, что при определённых предположениях о коэффициентах и свободном члене системы оператор $\Omega$ есть изоморфизм банаховых пространств $C^k_\alpha(\overline D)$ и $W^k_p(\overline D)$, $k\geq 1$, $0<\alpha<1$, $p>2$. Эти результаты развивают и дополняют работы Б.В. Боярского, где получены представления «первого рода», а также работы автора по представлениям «второго рода» с более сложными операторами. В качестве следствия свойств оператора $\Omega$ получены следующие априорные оценки для норм $\|w\|_{C^{k+1}_{\alpha}(\overline D)}$ и $\|w\|_{W^{k}_{p}(\overline D)}$.