Законы сохранения в задаче о ступеньке для цепочки Вольтерра

Аннотация

В данной работе изучается система уравнений цепочки Вольтерра с начальными условиями в виде ступеньки. Решения задачи Коши ищутся в классе положительных функций. Качественно рассматриваемая задача перекликается с задачей о распаде разрыва для уравнения Кортевега–де Фриза. Показывается, что решение задачи Коши для цепочки Вольтерра можно строить в виде рядов Тейлора. Для ограниченных начальных данных получены оценки, из которых следует, что радиус сходимости ряда больше нуля. Формулируется локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши с ограниченными начальными данными. Рассматривается специальное условие замыкания (обрыва) цепочки Вольтерра: $b_nb_{n+1}=1$, $n\ge N\ge2$. Для замыкания цепочки даются уточнённые оценки решений. Доказывается, что при условиях замыкания решения цепочки определены при всех положительных временах. Также для замкнутой цепочки устанавливаются два закона сохранения. Один из законов сохранения является следствием самого условия замыкания цепочки, а второй следует из лагранжевости цепочки.