О теореме Бари–Стечкина

Аннотация

В начале прошлого века Н.Н. Лузин доказал сходимость почти всюду несобственного интеграла, представляющего сопряженную функцию $\bar f$ к суммируемой с квадратом $2\pi$-периодической $f(x)$. Несколькими годами позже И.И. Привалов доказал аналогичный факт для просто суммируемой функции. В.И. Смирнов показал, что если $\bar f$ суммируема, то ее ряд Фурье является сопряженным к ряду Фурье для $f(x)$. Достаточно очевидно, что если $f(x)\in\mathrm{Lip}\,\alpha$, $0<\alpha<1$, то и $\bar f(x)\in\mathrm{Lip}\,\alpha$. Преобразование Гильберта для $f(x)$ отличается от $\bar f(x)$ на ограниченную функцию и имеет более простое ядро. Нетрудно показать, что и преобразование Гильберта для $f(x)\in\mathrm{Lip}\,\alpha$, $0<\alpha<1$, также принадлежит $\mathrm{Lip}\,\alpha$. В 1956 г. Н.К. Бари и С.Б. Стечкин нашли необходимое и достаточное условие на модуль непрерывности $f(x)$, что $\bar f(x)$ имеет тот же модуль непрерывности. Автор в 2016 г. ввел понятие сопряженной функции как преобразования Гильберта для функций, определенных на диадической группе. В предлагаемой работе показано, что для такой сопряженной функции не имеет места аналог теоремы Бари–Стечкина (и Привалова).