Обратные задачи для вырождающегося смешанного параболо-гиперболического уравнения по нахождению сомножителей правых частей, зависящих от времени

Аннотация

Для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с вырождающейся гиперболической частью в прямоугольной области рассмотрены прямая и обратные задачи по определению сомножителей правых частей, зависящих от времени. Предварительно изучена прямая начально-граничная задача для данного уравнения. Методом спектрального анализа установлен критерий единственности решения. А само решение прямой начально граничной задачи построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задаче Штурма–Лиувилля. При обосновании сходимости ряда возникла проблема малых знаменателей. В связи с чем были установлены оценки об отделенности от нуля малых знаменателей с соответствующей асимптотикой. Эти оценки позволили обосновать сходимость построенного ряда в классе регулярных решений данного уравнения. На основе решения прямой задачи поставлены и изучены три обратные задачи по отысканию сомножителя правой части, зависящей от времени, только из параболической или гиперболической части уравнения, и когда неизвестными одновременно являются сомножители из обеих частей уравнения. Используя формулу решения прямой начально-граничной задачи, решение обратных задач эквивалентно редуцировано к разрешимости нагруженных интегральных уравнений. На основании теории интегральных уравнений доказаны соответствующие теоремы единственности и существования решений поставленных обратных задач. При этом решения обратных задач построены в явном виде — как суммы ортогональных рядов.