Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях

Аннотация

Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида $$ (|u|^{k-2}u)_t=\sum_{\alpha=1}^n(|u_{x_{\alpha}}|^{p_{\alpha}-2}u_{x_{\alpha}})_{x_\alpha},\quad p_n\geq \ldots \geq p_1>k,\quad k\in(1,2). $$ Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях $D=(0,\infty)\times\Omega,\;$ $\Omega\subset \mathbb{R}_n,\;n\geq 2,$ с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлены точные оценки скорости убывания при $t\rightarrow\infty$. Ранее такие результаты были получены авторами для $k\geq 2$. Случай $k\in(1,2)$ отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного уравнения был предложен Э. Р. Андрияновой, Ф. Х. Мукминовым.