Простые частично инвариантные решения

Аннотация

Модели сплошной среды гидродинамического типа допускают 11-мерную алгебру Ли группы Галилея расширенную равномерным растяжением всех независимых переменных. С точностью до внутренних автоморфизмов перечислены все подалгебры этой алгебры Ли. Для подалгебр малой размерности от 1 до 3 рассмотрены инвариантные подмодели. Для 4-мерных подалгебр инвариантные решения — простые решения, зависящие от конечного числа постоянных. Ставится задача нахождения частично инвариантных решений минимального ранга. Для всех 48 типов 4-мерных подалгебр вычислены базисы точечных инвариантов в удобных для дальнейших вычислений переменных. Это позволяет рассмотреть простейшие частично инвариантные решения ранга 1 дефекта 1. При этом получаются как регулярные, так и нерегулярные частично инвариантные подмодели. Рассмотрены три 4-мерные подалгебры, производящие регулярные частично инвариантные решения в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно. Получено решение, зависящее от произвольной функции двух переменных в декартовых координатах. В цилиндрических координатах подмодель сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. В сферических координатах обобщаются инвариантные решения сферического вихря, построенного на группе вращений. Рассмотрены две 4-мерные подалгебры, производящие нерегулярные частично инвариантные решения. Возникающие переопределенные системы дифференциальных уравнений приводятся в инволюцию. Условия совместности порождают серии точных решений, зависящих от произвольных функций, так называемые простые волны. Получены решения с поверхностями уровня инвариантных функций в виде двигающихся плоскостей с постоянной нормальным вектором, но переменной скоростью. Для стационарных движений с вращением получены серии точных решений, зависящие от произвольных функций.