Асимптотика спектра дифференциального оператора четвертого порядка с двумя точками поворота

Аннотация

В статье изучается асимптотика спектра самосопряженного оператора $T$, порожденного в пространстве $L^{2}(0,+\infty)$ дифференциальным выражением четвертого порядка в предположении, что коэффициенты последнего имеют степенной рост на бесконечности так, что: а) индекс дефекта соответствующего минимального оператора равен $(2,2)$, б) дифференциальное уравнение $Ty=\lambda y $ при достаточно больших положительных значениях спектрального параметра имеет $2$ точки поворота: конечную и $+\infty$, в) корни характеристического уравнения растут «не в одну силу». Последнее обстоятельство приводит к существенным сложностям при исследовании асимптотики считающей функции спектра традиционным методом Карлемана–Костюченко, основанным на оценках резольвенты вдали спектра и тауберовых теоремах. Как ни странно, метод эталонных уравнений, применяемый для решения более тонкой задачи нахождения асимптотических разложений самих собственных чисел, а потому более чувствительный (по сравнению с методом Карлемана–Костюченко) к поведению коэффициентов дифференциального выражения, оказывается более эффективным в рассматриваемой ситуации: накладывая на коэффициенты некоторые ограничения типа гладкости и регулярности роста на бесконечности, удается получить асимптотическое уравнение для спектра оператора $T$. Это уравнение позволяет выписать несколько первых членов асимптотического разложения для собственных чисел оператора $T$ в случае, когда коэффициенты имеют степенной рост. Отметим, что до сих пор метод эталонных уравнений применялся в случае наличия лишь одной точки поворота.